Question

如图，B是△PAC的边AC上一点，且AB=2BC=4，∠APB=90°，∠CPB=30°，则=    ．

Answer 1

【答案】分析：设PB长为x，在△PBC中利用正弦定理，算出=x．再在△PBC中算出sinC关于x的式子，利用正弦定理建立关于x的方程，解出x的值，从而得到向量、的长度，结合数量积的计算公式，得到所求的结果．
解答：解：设=x，
则Rt△PAB中，=，sinA==
∵△PBC中，
∴=x
sin∠PBC=sin∠PBA=cosA=，cos∠PBC=-cos∠PBA=-sinA=-
∴sinC=sin（∠PBC+∠BPC）=cos30°+（-）sin30°=
在△PBC中，，即
解之得：x=2，所以==2，=x=2
∴=•cos120°=2•2•（-）=-6
故答案为：-6
点评：本题在特殊三角形中求向量的数量积，着重考查了正弦定理解三角形和向量数量积的运算等知识，属于基础题．