Question

【题目】已知椭圆C：1（a＞b＞0）的一个顶点坐标为A（0，﹣1），离心率为.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若直线y=k（x﹣1）（k0）与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段PQ的中点为M，点B（1，0），求证：点M不在以AB为直径的圆上.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】

（Ⅰ）由已知列出关于的方程组可解得结论；

（Ⅱ）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0),由直线方程与椭圆方程联立消去后整理，应用韦达定理得，求出中点坐标，计算，证明即可，

（Ⅰ）解：由题意可知

解得

所以椭圆C的方程为.

（Ⅱ）证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0),.

由得(4k2+1)x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，

所以△=(﹣8k2)2﹣4×(4k2+1)(4k2﹣4)=48k2+16.

所以当k为任何实数时，都有△＞0.

所以 ，.

因为线段PQ的中点为M，

所以 ，，

因为 B（1，0），

所以 ，.

所以

.

又因为 k0，，

所以 ，

所以点M不在以AB为直径的圆上.