Question

已知函数f（x）=2

3

sin（ωx+

π

3

）（ω＞0，x∈R）图象的相邻两条对称轴之间的距离为π．
（Ⅰ）求ω的值及f（x）图象的对称中心；
（Ⅱ）在△ABC中，若f（A）=3，且BC=

3

，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：计算题

分析：（Ⅰ）根据题意求得函数的周期进而求得ω得到函数的解析式，根据三角函数的性质求得图象的对称中心．
（Ⅱ）根据函数的解析式，根据f（A）=3求得A，然后根据余弦定理即基本不等式的知识，求得bc的范围，最后用bc表达出面积，根据bc的范围求得面积的最大值．

解答： （Ⅰ）解：依题意，f（x）的周期为2π，
则ω=

2π

T

，
∴f（x）=2

3

sin（x+

π

3

），
令x+

π

3

=kπ，得x=kπ-

π

3

，
∴f（x）的对称中心为（kπ-

π

3

，0）．
（Ⅱ）△ABC中，由f（A）=2

3

sin（A+

π

3

）=3，得sin（A+

π

3

）=

3

2

，
∵0＜A＜π，∴A=

π

3

，
由余弦定理得b²+c²-（

3

）²=2bccos

π

3

，
∴b²+c²=bc+3，
∵b²+c²≥2bc（当且仅当b=c时，等号成立），
∴bc+3≥2bc，
∴bc≤3，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

bcsin

π

3

=

3

4

bc≤

3 3

4

（当且仅当b=c时等号成立），
∴△ABC的面积的最大值为

3 3

4

．

点评：本小题主要考查三角函数的图象及性质、解三角形、重要不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查了数形结合、函数与方程和化归与转化的数学思想方法．