【题目】在四棱锥中,
,
,
,
,
分别为
的中点,
.
(1)求证:平面平面
;
(2)设,若平面
与平面
所成锐二面角
,求
的取值范围.
【答案】(1)详见解析; (2).
【解析】试题分析:(1) 求证:平面ABE⊥平面BEF, 只需证明一个平面过另一个平面的垂线即可, 注意到AB∥CD,CD⊥AD,AD = 2AB,而分别为
的中点,可得四边形ABCD为矩形,说明AB⊥BF,再证明AB⊥EF,由线面垂直的判定可得AB⊥面BEF,再根据面面垂直的判定得到平面ABE⊥平面BEF;(2)以A点为坐标原点,AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间坐标系,利用平面法向量所成交与二面角的关系求出二面角的余弦值,根据给出的二面角的范围得其余弦值的范围,最后求解不等式可得a的取值范围.
试题解析:(Ⅰ),
分别为
的中点,
为矩形,
2分
∵DE=EC,∴DC⊥EF,又AB∥CD,∴AB⊥EF
∵BF∩EF=F,∴AB⊥面BEF,又AE面ABE,
∴平面ABE⊥平面BEF. 4分
(Ⅱ),又
,
又,所以
面
,
6分
法一:建系为
轴,
为
轴,
为
轴,
,
,
平面法向量
,平面
法向量
·9分
,可得
. 12分
法二:连交
于点
,四边形
为平行四边形,所以
为
的中点,连
,
则,
面
,
,
作于
点,所以
面
,
连,则
,
即为所求 9分
在中,
,
解得12 分
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知椭圆:
的离心率为
,以椭圆
的左顶点
为圆心作圆
:
,设圆
与椭圆
交于点
与点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)求的最小值,并求此时圆
的方程;
(3)设点是椭圆
上异于
,
的任意一点,且直线
分别与
轴交于点
,
为坐标原点,求证:
为定值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数,在
处有最小值为0.
(1)求的值;
(2)设,
①求的最值及取得最值时
的取值;
②是否存在实数,使关于
的方程
在
上恰有一个实数解?若存在,求出实数
的取值范围;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数y=f(x)是R上的偶函数,对x∈R都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立.当x1,x2∈[0,2],且x1≠x2时,都有<0,给出下列命题:
①f(2)=0;
②直线x=-4是函数y=f(x)图象的一条对称轴;
③函数y=f(x)在[-4,4]上有四个零点;
④f(2 014)=0.
其中所有正确命题的序号为________.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】随着手机的发展,“微信”越来越成为人们交流的一种方式.某机构对“使用微信交流”的态度进行调查,随机抽取了50人,他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如下表.
年龄(单位:岁) | [15,25) | [25,35) | [35,45) | [45,55) | [55,65) | [65,75) |
频数 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
赞成人数 | 5 | 10 | 12 | 7 | 2 | 1 |
(Ⅰ)若以“年龄45岁为分界点”,由以上统计数据完成下面列联表,并判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关;
年龄不低于45岁的人数 | 年龄低于45岁的人数 | 合计 | |
赞成 | |||
不赞成 | |||
合计 |
(Ⅱ)若从年龄在[25,35)和[55,65)的被调查人中按照分层抽样的方法选取6人进行追踪调查,并给予其中3人“红包”奖励,求3人中至少有1人年龄在[55,65)的概率.
参考数据如下:
附临界值表:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
的观测值:
(其中
)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】有一块扇形铁皮OAB,∠AOB=60°,OA=72cm,要剪下来一个扇环形ABCD,作圆台容器的侧面,并且在余下的扇形OCD内能剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台容器的下底面(大底面).试求:
(1)AD应取多长?
(2)容器的容积为多大?
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