【题目】已知函数
.
（1）求函数
的单调区间；
（2）当
时，证明：
.
【答案】（1）单调递减区间为
和
，无单调递增区间；（2）证明见解析
【解析】
（1）由
，可得
，令
，根据导数求得
的最值，即可求得
单调区间；
（2）由于的定义域为
，当
，得
恒成立. 故要证原结论成立，只要证
恒成立即可.构造函数
，根据导数求得
，即可求得答案.
（1）
.
令，则
.
由
得
，且易知是的极大值点.
故
对任意的
成立.
又的定义域为，
则的单调递减区间为和，无单调递增区间.
（2）由于的定义域为，
得恒成立.
故要证原结论成立，只要证恒成立即可.
令，
下只要证即可.
令
.
则
对任意的
恒成立.
故
在
和上分别单调递增.
①当
时，
恒成立，
又
，故恒成立；
②当
时，
恒成立，
又
，故恒成立.
综上所述，对任意的
成立，故原结论成立.
科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据(单位:
).根据这100个样本数据，制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图(如图所示).
（Ⅰ）估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数
和样本方差
(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
（Ⅱ）由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间
近似服从正态分布
，其中
近似为样本平均数，
近似为样本方差.
（i）求
；
（ii）若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间
的人数为
，试求
.
附：
，若~，
，
.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知曲线C的参数方程为
（
为参数），以直角坐标系的原点o为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程是：
（Ⅰ）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程：
（Ⅱ）点P是曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值与最小值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在平面直角坐标系
中，直线
的参数方程为
（
为参数），以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
．
（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设
为曲线上的点，
，垂足为
，若
的最小值为
，求
的值．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知椭圆C： 
（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1， 
），P4（1， 
）中恰有三点在椭圆C上.
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知函数
．
（1）若函数
在
，
上单调递增，求实数
的取值范围；
（2）若函数在
处的切线平行于
轴，是否存在整数
，使不等式
在
时恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知函数f(x)＝|3x＋2|.
(1)解不等式f(x)<4－|x－1|；
(2)已知m＋n＝1(m，n>0)，若|x－a|－f(x)≤
(a>0)恒成立，求实数a的取值范围.
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