Question

【题目】在四棱柱中，平面，底面是边长为的正方形，与交于点，与交于点，且.

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求的长度；

（Ⅲ）求直线与所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）的长度等于.（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）在以中，利用中位线定理证明，再由线面平行的判定定理得证；

（Ⅱ）由已知说明，，两两垂直，进而可建立空间直角坐标系，再分别表示点的坐标，即可表示，的坐标，由向量垂直的数量积为零构建方程求得答案；

（Ⅲ）由数量积的坐标运算求夹角的余弦值.

（Ⅰ）证明：由已知，四棱柱中，四边形与四边形是平行四边形，所以，分别是，的中点.

所以中，.

因为平面，所以平面.

（Ⅱ）因为平面，，

所以平面，所以，，

又正方形中，所以以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.

设，所以，，，，

，.

因为，所以，

解得，所以的长度等于.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，

设直线与所成角为，

所以.

即直线与所成角的余弦值为.