Question

【题目】2020年席卷全球的新冠肺炎给世界人民带来了巨大的灾难，面对新冠肺炎，早发现、早诊断、早隔离、早治疗是有效防控疾病蔓延的重要举措之一.某社区对位居民是否患有新冠肺炎疾病进行筛查，先到社区医务室进行口拭子核酸检测，检测结果成阳性者，再到医院做进一步检查，己知随机一人其口拭子核酸检测结果成阳性的概率为%，且每个人的口拭子核酸是否呈阳性相互独立.

（1）假设该疾病患病的概率是%，且患病者口拭子核酸呈阳性的概率为%，设这位居民中有一位的口拭子核酸检测呈阳性，求该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率；

（2）根据经验，口拭子核酸检测采用分组检测法可有效减少工作量，具体操作如下：将位居民分成若干组，先取每组居民的口拭子核酸混在一起进行检测，若结果显示阴性，则可断定本组居民没有患病，不必再检测；若结果显示阳性，则说明本组中至少有一位居民患病，需再逐个进行检测，现有两个分组方案：

方案一：将位居民分成组，每组人；

方案二：将位居民分成组，每组人；

试分析哪一个方案的工作量更少？

（参考数据：，）

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）设事件为 “核酸检测呈阳性”，事件为“患疾病”，利用条件概率公式求解即可；

（2）设方案一和方案二中每组的检测次数为，，分别求出两种方案检测次数的分布列，进而得出期望，通过比较期望的大小即可得出结论.

（1）设事件为 “核酸检测呈阳性”，事件为“患疾病”

由题意可得，

由条件概率公式得：

即

故该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率为

（2）设方案一中每组的检测次数为，则的取值为

所以的分布列为

所以

即方案一检测的总次数的期望为

设方案二中每组的检测次数为，则的取值为

；

所以的分布列为

所以

即方案二检测的总次数的期望为

由，则方案二的工作量更少