Question

【题目】已知函数f（x）=a（lnx2）1在定义域（0，2）内有两个极值点.

（1）求实数a的取值范围；

（2）设x1和x2是f（x）的两个极值点，求证：lnx1+lnx2+lna0.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）对函数进行求导可得，记g（x）=ex﹣1﹣ax，通过分类讨论得到函数单调性，分和两种情况进行讨论，即可得解；

（2）根据题意，将证明lnx1+lnx2+lna0，转化为证x1+x22+lna，即证x11﹣lnx2，结合（1）问转化成h（x）=lnx+e1﹣x，求导利用单调性即可证明.

（1）函数f（x）的定义域为（0，2），，记g（x）=ex﹣1﹣ax，则g′（x）=ex﹣1﹣a，

①当时，g′（x）0，

故g（x）在（0，2）上单增，则g（x）至多有一个零点，不合题意；

②当时，令g′（x）=0得x=1+lna，

（i）当1+lna<2且g（2）0，即时，

g（x）在（0，1+lna）上单减，在（1+lna，2）上单增，

此时需g（x）min=g（1+lna）=﹣alna<0，解得a1，

注意到g（0）0，

故由零点存在性定理可知，g（x）在（0，1+lna）及（1+lna，2）上各有一个零点；

（ii）当1+lna2，即ae时，g（x）在（0，2）上单减，则g（x）至多有一个零点，不合题意；

综上，实数a的取值范围为；

（2）证明：不妨设0<x1<1+lna<x2<2，

由题意得，，两边同时取自然对数得，

要证lnx1+lnx2+lna0，只需证x1+x22+lna，即证x11﹣lnx2，

由上题可知，g（x）在（0，1+lna）上单减，则证明g（1﹣lnx2）g（x1）=0即可，

有，化简后即证明即可，

构造函数h（x）=lnx+e1﹣x，x∈（1+lna，2），则，注意到不等式ex﹣1x（x0），

则h′（x）0在（1+lna，2）恒成立，

即h（xh（1+lna）h（1）=1，故求证成立.