Question

已知数列{a_n}的奇数项是首项为1公差为d的等差数列，偶数项是首项为2公比为q的等比数列．数列{a_n}前n项和为S_n，且满足S₃=a₄，a₃+a₅=2+a₄．
（1）求d和q的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式和前n项和为S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意联立方程组解得即可；
（2）分n为奇数、偶数分别求得．

解答： 解：（1）由题意得a₁=1，a₂=2，
又S₃=a₄，a₃+a₅=2+a₄，
∴

a1+a2+a3=a4 a3+a5=2+a4

，
∴

1+2+1+d=2q 1+d+1+2d=2+2q

即

4+d=2q 2+3d=2+2q

解得d=2，q=3；
（2）当n为奇数时，s_n=（a₁+a₃+…+a_n）+（a₂+a₄+…+a_n-1）=

n+1 2 (a1+an)

2

+

a2(1-q n-1 2 )

1-q

=

n+1

4

[1+1+（

n+1

2

-1）•2]+

2(1-3 n-1 2 )

1-3

=

(n+1)2

4

+3

n-1

2

-1；
当n为偶数时，s_n=（a₁+a₃+…+a_n-1）+（a₂+a₄+…+a_n）=

n 2 (a1+an-1)

2

+

a2(1-q n 2 )

1-q

=

n

4

[1+1+（

n

2

-1）•2]+

2(1-3 n 2 )

1-3

=

n2

4

+3

n

2

-1．

点评：本题主要考查等差数列、等比数列的性质及前n项和公式等知识，考查学生的运算求解能力及分类讨论思想的运用，属难题．