Question

（2010•舟山模拟）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB=AC=AA₁=3a，BC=2a，D是BC的中点，F是CC₁上一点，且CF=2a．
（1）求证：B₁F⊥平面ADF；
（2）求平面ADF与平面AA₁B₁B所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）根据已知中D是BC的中点，我们可得AD⊥面CC₁B₁B，进而AD⊥B₁F，FD⊥B₁F，结合线面垂直的判定定理即可得到B₁F⊥平面ADF；
（2）延长FD、B₁B交于G，则AG为所求二面角的棱，过B₁作B₁H⊥AG，且B₁H与AG交于H，可得∠B₁HF为所求二面角的平面角，解三角形B₁HF即可得到平面ADF与平面AA₁B₁B所成角的正弦值．

解答：证明：（1）因为AB=AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC．
又侧面CC₁B₁B⊥平面ABC，所以AD⊥面CC₁B₁B
又B₁F?面CC₁B₁B，所以AD⊥B₁F
在Rt△B₁C₁F中，tan∠C₁B₁F=

1

2

，在Rt△DCF中 tan∠CFD=

1

2

，
所以∠C₁B₁F=∠CFD，∠C₁FB₁+∠CFD=

π

2

-∠C₁B₁F+∠CFD=

π

2

，∠B₁FD=π-（∠C₁FB₁+∠CFD）=

π

2

即FD⊥B₁F，所以B₁F⊥平面ADF；．…（6分）
解：（2）延长FD、B₁B交于G，则AG为所求二面角的棱．由Rt△FCD≌Rt△GBD得：CF=GB=2a．
过B₁作B₁H⊥AG，且B₁H与AG交于H，又 B₁F⊥平面ADF，FH⊥AG，
∠B₁HF为所求二面角的平面角．
由Rt△ABG和Rt△B₁HD相似得：B₁H=

15a

13

．又B₁F=

B1 C 2 1 +C1F2

=

5

a，所以 sin∠B₁HF=

65

15

．
即所求二面角的正弦值是

65

15

．…（12分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法，其中（1）的关键是证明出AD⊥B₁F，FD⊥B₁F，（2）的关键是求出∠B₁HF为所求二面角的平面角．