Question

（2010•舟山模拟）将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有

222

种．

Answer 1

分析：“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个名额之间的23个空隙中选出2个空隙插入分割符号，则有253种方法，再列举出“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法，进而得到满足题中条件的分配方法．

解答：解：用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用*表示名额．
如|****|*…*|**|表示第一、二、三个学校分别有4，18，2个名额．
若把每个“*”与每个“|”都视为一个位置，由于左右两端必须是“|”，故不同的分配方法相当于24+2=26个位置（两端不在内）被2个“|”占领的一种“占位法”．
“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“*”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“|”，故有C₂₃²=253种．
又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有（1，1，22），（2，2，20），（3，3，18），（4，4，16），（5，5，14），
（6，6，12），（7，7，10），（8，8，8），（9，9，6），（10，10，4），（11，11，2）共有10C₃¹+1=31种．
∴每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有253-31=222种．
故答案为：222．

点评：本题主要考查排列组合与计数原理的有关知识点，解决此类问题的方法是：特殊元素与特殊位置优先的原则，插空法，捆绑法等方法，在解决问题时有时也运用正难则反的解题得思想方法，本题在计数时采取了排除的技巧，由于所研究的对象较为复杂，采取了列举法，这是较复杂问题计数常用的一种方法．