Question

已知抛物线x²=2py（p＞0）与圆O：x²+y²=4相交于A、B两点，F为抛物线的焦点，且满足

OA

+

OB

=2

OF

，

OA

•

OB

=-2
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）过点P（t，-1）作抛物线的两条切线，切点分别为M，N，直线MN与圆O交于C，D两点，直线PF与圆O交于Q，R两点，如图所示，四边形CRDQ的面积的取值范围．

Answer 1

考点：圆与圆锥曲线的综合,抛物线的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）确定F为AB的中点，利用

OA

•

OB

=-2，求出∠AOB=

2π

3

，即可求抛物线的方程；
（Ⅱ）求出切线PM、PN的方程，可得P的坐标，证明MN⊥PF，求出|CD|，|RQ|，即可求得四边形CRDQ的面积的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）x²=2py的焦点F（0，

p

2

）．
∵

OA

+

OB

=2

OF

，
∴F为AB的中点，
∵

OA

•

OB

=-2，
∴2•2•cos∠AOB=-2，
∴cos∠AOB=-

1

2

，
∴∠AOB=

2π

3

，
在△AOB中，|OF|=

1

2

|OB|=1，∴

p

2

=1，
∴p=2，
∴抛物线的方程为x²=4y；
（Ⅱ）设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），则
切线PM：y-

x12

4

=

1

2

x₁（x-x₁），即y=

1

2

x₁x-

x12

4

，
同理切线PN：y=

1

2

x₂x-

x22

4

，
联立求得P（

x1+x2

2

，

x1x2

4

），则x₁+x₂=2t，x₁x₂=-4，
∴直线MN的方程为y=

x1+x2

4

x-

x1x2

4

，即y=

1

2

tx+1，
直线PF：y-1=-

2

t

（x-6），即y=-

2

t

x+1，
∵

1

2

t•（-

2

t

）=-1，
∴MN⊥PF
O到MN的距离d₁=

1

1 4 t2+1

，∴|CD|=2

4-d12

=2

4- 1 1 4 t2+1

；
O到PF的距离d₂=

1

4 t2 +1

，∴|RQ|=2

4-d22

=2

4- 1 4 t2 +1

，
∴S=

1

2

|RQ||CD|=2

4- 4 t2+4

•

3+ 4 t2+4

，
令

4

t2+4

=m（m∈（0，1]），则S=2

(4-m)(3+m)

，
∵（4-m）（3+m）=-(m-

1

2

)2+

49

4

，
∴（4-m）（3+m）∈[12，

49

4

]，
∴S∈[4

3

，7]．

点评：本题考查抛物线的方程，考查圆与圆锥曲线的综合，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，有难度．