Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=

1

2

，a_n+1=

n+1

2n

a_n．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=n（2-S_n），n∈N^*，若集合M={n|b_n≥λ，n∈N^*}恰有5个元素，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）由已知得

an+1

n+1

=

1

2

an

n

，结合等比数列的通项公式可求

an

n

，进而可求a_n
（2）由（1）知Sn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，利用错位相减可求s_n，然后利用数列的单调性可求b_n的最大值与最小值，进而可求实数λ的取值范围

解答： 解：（I）由已知得

an+1

n+1

=

1

2

an

n

，其中n∈N*
∴数列{

an

n

}是公比为

1

2

的等比数列，首项a1=

1

2

∴

an

n

=(

1

2

)n
∴an=

n

2n

（2）由（1）知Sn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，

1

2

Sn=

1

22

+

2

23

+

3

24

…+

n

2n+1

，
两式相减可得，

1

2

Sn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

1

2n+1

，
=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

1

2n+1

=1-

n+2

2n+1

∴s_n=2-

n+2

2n

因此，bn=

n(n+2)

2n

，bn+1-bn=

(n+1)(n+3)

2n+1

-

n(n+2)

2n

=

-n2+3

2n+1

所以，当n=1，b₂-b₁＞0即b₂＞b₁，
n＞2时，b_n+1-b_n＜0即b_n+1-b_n＜0b1=

3

2

，b2=2，b3=

15

8

，b4=

3

2

，b5=

35

32

，b6=

3

4

要使得集合M有5个元素，实数λ的取值范围为

3

4

＜λ≤

35

32

．

点评：本题主要考查了等比数列的定义及通项公式求解的应用，数列的错位相减求和方法的应用，及数列单调性在求解数列的最值求解中的应用，试题具有一定的综合性