Question

已知数列{a_n}满足a_n+1-3a_n-1=0（n∈N^*）
（Ⅰ）若存在一个常数λ，使得数列{a_n+λ}为等比数列，求出λ的值；
（Ⅱ）设a₁=

1

2

，数列{a_n}的前n和为S_n，求满足S_n＞1090的n的最小值．

Answer 1

考点：数列递推式,等比数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据等比数列的定义，建立条件关系即可求出λ的值；
（Ⅱ）求出数列{a_n}的前n和为S_n，解不等式即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵a_n+1-3a_n-1=0，即a_n+1=3a_n+1
∴设a_n+1+λ=3（a_n+λ），
即a_n+1=3a_n+2λ，由2λ=1，
解得λ=

1

2

，此时数列{a_n+λ}为等比数列，公比q=3．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a_n+1+

1

2

=3（a_n+

1

2

），
则{a_n+

1

2

}是公比q=3的等比数列，首项a₁+

1

2

=

1

2

+

1

2

=1，
则a_n+

1

2

=3^n-1则a_n==3^n-1-

1

2

．
则Sn=

1-3n-1

1-3

-

1

2

n=

1

2

(3n-1-1)-

1

2

n，
由S_n＞1090得3ⁿ-n＞2181，
∵S₇=2180＜2181，S₈=6553＞2181，
满足S_n＞1090的n的最小值为8．

点评：本题主要考查等比数列的判断，以及数列的求和，利用等比数列的通项公式和求和公式是解决本题的关键，考查学生的运算能力．