Question

已知数列{a_n}是公差大于零的等差数列，数列{b_n}为等比数列，且a₁=b₁=2，a₂-b₂=1，a₃+b₃=16．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=a_bn，数列{c_n}前n项的和为S_n，集合A={n∈N^*|S_n＞6•2ⁿ+n²-8n}，求集合A．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知结合等差与等比数列的通项公式可得，

2+d-2q=1 2+2d+2q2=16

，解方程可求d，q，进而可求通项
（2）由（1）可求c_n，利用分组求和，结合等比数列的求和公式可求s_n，结合已知不等式可求符合条件的A

解答： 解：（1）设数列{a_n}的公差为d（d＞0），数列的公比为q，则

2+d-2q=1 2+2d+2q2=16

解得

d=3 q=2

，或

d=-9 q=-4

(舍去)…（6分）
∴an=3n-1，bn=2n…（7分）
（2）∵cn=abn=3×2n-1…（8分）
∴Sn=3×

2(1-2n)

1-2

-n=3×2n+1-n-6…（10分）
由Sn＞6×2n+n2-8n，得n2-7n+6＜0…（12分）
解得1＜n＜6，n∈N^*
∴A={2，3，4，5}…（14分）

点评：本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式及等比数列的求和公式的应用，分组求和方法的应用，试题不难．