Question

6．四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB=2，PA=$\frac{7}{2}$，若该四棱锥的所有项点都在同一球面上，则该球的表面积为（　　）

• A． $\frac{81π}{2}$
• B． $\frac{81π}{4}$
• C． 65π
• D． $\frac{65π}{2}$

Answer 1

分析 连结AC、BD，交于点E，则E是AC中点，取PC中点O，连结OE，推导出O是该四棱锥的外接的球心，球半径R=$\frac{1}{2}PC$，由此能求出该球的表面积．

解答 解：四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB=2，PA=$\frac{7}{2}$，
连结AC、BD，交于点E，则E是AC中点，取PC中点O，连结OE，
则OE∥PA，∴OE⊥平面ABCD，∴O到该四棱锥的所有顶点的距离相等，都为$\frac{1}{2}PC$，
∴O是该四棱锥的外接的球心，
该球半径R=$\frac{1}{2}PC$=$\frac{1}{2}\sqrt{P{A}^{2}+A{C}^{2}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{49}{4}+8}$=$\frac{9}{4}$，
∴该球的表面积为S=4$π×（\frac{9}{4}）^{2}$=$\frac{81π}{4}$．
故选：B．

点评 本题考查四面体的外接球的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．