Question

14．如图，三棱柱ABC-A′B′C′中，侧棱AA′⊥底面ABC，且侧棱和底面边长均为2，D是BC的中点
（1）求证：A′B∥平面ADC′；
（2）求证：AD⊥平面BB′CC′．

Answer 1

分析 （1）连结AC′，交A′C于点O，连结OD，则OD∥A′B，由此能证明A′B∥平面ADC′．
（2）推导出AD⊥BC，AD⊥BB′，由此能证明AD⊥平面BB′CC′．

解答 证明：（1）连结AC′，交A′C于点O，连结OD，
∵三棱柱ABC-A′B′C′中，侧棱AA′⊥底面ABC，∴ACC′A′是矩形，
∴O是A′C的中点，
∵D是BC的中点，∴OD∥A′B，
∵OD?平面ADC′，A′B?平面ADC′，
∴A′B∥平面ADC′．
（2）∵三棱柱ABC-A′B′C′中，侧棱AA′⊥底面ABC，
且侧棱和底面边长均为2，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BB⊥平面ABC，
又AD?平面ABC，∴AD⊥BB′，
∵BC∩BB′，∴AD⊥平面BB′CC′．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．