Question

2．已知圆C：（x+2）²+y²=2
（1）求与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等的直线l的方程；
（2）从圆C外一点P作圆C的一条切线，切点为M，O为坐标原点，若|PM|=|PO|，求点P的轨迹方程，并求此轨迹被圆x²+y²=1所截得的弦长．

Answer 1

分析 （1）涉及直线在x轴、y轴上的截距相等，需要讨论截距是否为零的情形．
（2）求点P的轨迹方程，只需设出点P的坐标，直接利用条件等式|PM|=|PO|，将相关点的坐标代入并化简即得所求结果．

解答 解：（1）依题意可知，在x轴、y轴上的截距相等的直线l分两种情况：
①若直线l过原点，设l的方程为y=kx，即kx-y=0，
所以$\frac{|-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，解得k=±1，
即直线l的方程为x-y=0或x+y=0．
②若直线l不过原点，设l的方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$（a≠0），即x+y-a=0，
所以$\frac{|2-a|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，解得a=0（舍去）或a=-4，
即直线l的方程为x+y+4=0．
所以直线l的方程为x±y=0或x+y+4=0．
（2）设P（x，y），由|PM|=|PO|，得$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}-2}$=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
化简得点P的轨迹方程为x=-$\frac{1}{2}$．
于是直线x=$\frac{1}{2}$被圆x²+y²=1所截得的弦长为2$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查直线方程的求法，考查轨迹方程及弦长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直线与圆的相切问题及研究曲线的轨迹方程的合理运用．