Question

3．已知函数f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$，其中a＞0．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若函数h（x）=f（x）-1在区间[$\frac{1}{e}$，e]上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的定义域，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，得到函数的单调区间，从而确定极值情况．
（2）由题意可得a=x（1-lnx）在x∈[e^-1，e]上有两个零点，令g（x）=x（1-lnx），求出导数，求得单调区间，可得最值，再由函数方程的思想，可得a的范围．

解答 解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，
a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞a，
令f′（x）＜0，解得；0＜x＜a，
∴f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，
函数f（x）有极小值，
f（x）_极小值=f（a）=1+lna．
（2）函数h（x）=f（x）-1在x∈[$\frac{1}{e}$，e]上有两个零点，
即为a=x（1-lnx）在x∈[$\frac{1}{e}$，e]上有两个零点，
令g（x）=x（1-lnx），g′（x）=1-lnx-1=-lnx，
当$\frac{1}{e}$≤x＜1时，g′（x）＞0，g（x）递增；当1＜x≤e时，g′（x）＜0，g（x）递减．
x=1处取得最大值，且为1，
x=$\frac{1}{e}$时，g（x）=$\frac{2}{e}$；x=e时，g（x）=0．
由题意可得：$\frac{2}{e}$≤a＜1，
则a的取值范围是[$\frac{2}{e}$，1）．

点评 本题考查导数的运用，函数的单调区间、极值和最值，同时考查函数和方程的转化思想的运用，属于中档题．