Question

15．已知{a_n}是递增的等比数列，a₂，a₄方程x²-40x+256=0的根．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{n+2}{{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n，并证明：$\frac{3}{4}$≤S_n＜2．

Answer 1

分析 （1）通过解方程求出等比数列{a_n}的a₂，a₄，然后求出公比，得到{a_n}的通项公式；
（2）求出{b_n}的通项公式，利用错位相减法即可求出数列的前n项和公式，再根据数列单调性即可证明．

解答 解：（1）解方程x²-40x+256=0，得x₁=8，x₂=32．
∵{a_n}是递增的等比数列，
∴a₂，a₄是方程x²-40x+256=0的两个根，
∴a₂=8，a₄=32，
∴q²=4，
∴q=2，a₁=4，
∴a_n=a₁q^n-1=2ⁿ⁺¹，
（2）b_n=$\frac{n+2}{{a}_{n}}$=$\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$=（n+2）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
∴S_n=3•（$\frac{1}{2}$）²+4•（$\frac{1}{2}$）³+…+（n+2）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
∴$\frac{1}{2}$S_n=3•（$\frac{1}{2}$）³+4•（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹+（n+2）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺²，
∴$\frac{1}{2}$S_n=2•（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹-（n+2）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺²
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n+1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（n+2）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺²
=1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹-（n+2）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺²，
=-（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹（2+$\frac{n}{2}$）+1，
∴S_n=2-（$\frac{1}{2}$）ⁿ（2+$\frac{n}{2}$），
∵（$\frac{1}{2}$）ⁿ（2+$\frac{n}{2}$）＞0，
∴S_n=2-（$\frac{1}{2}$）ⁿ（2+$\frac{n}{2}$）＜2
∵S_n+1-S_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ+（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹（n-1）＞0，
∴数列{S_n}单调递增，所以S_n的最小值为S₁=$\frac{3}{4}$．
∴$\frac{3}{4}$≤S_n＜2．

点评 本题主要考查递推数列的应用，以及数列求和，利用错位相减法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大．