Question

已知矩阵M=

1 2 0 3

（1）试求M的逆矩阵；
（2）求M的特征值及特征向量．

Answer 1

考点：特征值与特征向量的计算

专题：计算题,矩阵和变换

分析：（1）设出逆矩阵，由定义得到方程，解出系数a，b，c，d即可．
（2）先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．

解答： 解：（1）设M的逆矩阵为

a b c d

，
则

1 2 0 3

•

a b c d

=

1 0 0 1

，
则

a+2c=1 b+2d=0 3c=0 3d=1

，解得

a=1 b=- 2 3 c=0 d= 1 3

，
故逆矩阵为

1 - 2 3 0 1 3

．
（2）由f（λ）=

.

λ-1 -2 0 λ-3

.

=（λ-3）（λ-1）=0，
解得λ=3或λ=1，
设λ=3对应的一个特征向量为α=

x y

则

3x=x+2y 3y=3y

，得y=0，x=0．
则当λ=3时，对应的特征向量为α₁=

0 0

，
同理可得，当λ=1时，对应的特征向量为α₂=

1 0

．

点评：本题主要考查了矩阵特征值与特征向量以及逆矩阵的计算等基础知识，属于基础题．