Question

(理)已知一列非零向量a _n,n∈N^*,满足:a₁=(10,-5), a _n=(x_n,y_n)=k(x_n-1-y_n-1,x_n-1+y_n-1)(n≥2),其中k是非零常数.

(1)求数列{| a _n|}的通项公式;

(2)求向量a _n-1与a _n的夹角(n≥2);

(3)当k=时,把a ₁, a ₂,…, a _n,…中所有与a ₁共线的向量按原来的顺序排成一列,记为b₁,b₂,…,b_n,…,令OB_n=b₁+b₂+…+b_n,O为坐标原点,求点列{B_n}的极限点B的坐标.〔注:若点坐标为(t_n,s_n),且t_n=t,s_n=s,则称点B(t,s)为点列的极限点〕

(文)设函数f(x)=5^x-6,g(x)=f(x).

(1)解不等式g(n)［g(1)+g(2)+…+g(n)］＜0(n∈N^*);

(2)求h(n)=g(n)［g(1)+g(2)+…+g(n)］-132n(n∈N^*)的最小值.

Answer 1

答案：(理)解:(1)| a _n|==

==|k||a_n-1|(n≥2),

∴|k|≠0,|a₁|=.

∴{|a_n|}是首项为,公比为|k|的等比数列.∴|a_n|=(|k|)^n-1.

(2)a_n·a_n-1=k(x_n-1-y_n-1,x_n-1+y_n-1)·(x_n-1,y_n-1)=k(x_n-1²+y_n-1²)=k|a_n-1|²,

∴cos〈a_n,a_n-1〉=

∴当k＞0时,〈a,a_n-1〉=,当k＜0时,〈a_n,a_n-1〉=.

(3)当k=时,由(2)知4〈a_n,a_n-1〉=π,

∴每相隔3个向量的两个向量必共线,且方向相反.

∴与向量a₁共线的向量为{a₁,a₅,a₉,a₁₃,…}={b₁,b₂,b₃,b₄,…}.

记a_n的单位向量为a_n0,则a₁=|a₁|a_n0,

则a_n=|a_n|a_n0=|a₁|(|k|)^n-1a_n0,b_n=a_4n-3=|a₁|(|k|)^4n-4(-1)^n-1a_n0=a₁(-4|k|⁴)^n-1=(10,-5)(-)^n-1.

设=(t_n,s_n),则t_n=10［1+(-)+(-)²+…+(-)^n-1］=10×,

∴.∴点列{B_n}的极限点B的坐标为(8,-4).

(文)解:(1)g(n)=(5^n-6)=2n-12(n∈N^*),

∴g(1)+g(2)+…+g(n)=n²-11n.

解不等式(2n-12)(n²-11n)＜0,得6＜n＜11(n∈N^*).

(2)当x∈R时,h(x)=(2x-12)(x²-11x)-132x=2x³-34x²,h′(x)=6x²-68x,

由h′(x)＞0,得x＜0或x＞11,

∵n∈N^*,∴1≤n≤11时,h(n)单调递减,n≥12时,h(n)单调递增.

当n=11时,h(11)=-1 452,当n=12时,h(12)=-1 440,∴h(n)_min=h(11)=-1 452.