Question

设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，首项为a₁，公差d≠0，
（1）用a₁，d表示

1

3

S₃，

1

4

S₄，

1

5

S₅，
（2）已知

1

3

S₃，

1

4

S₄的等比中项为

1

5

S₅，

1

3

S₃，

1

4

S₄的等差中项为1．求a₁，d；
（3）写出{a_n}的通项公式．
（注：等差数列的前n项和公式为S_n=na₁+

n(n-1)

2

d）

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）直接运用等差数列的前n项和公式即可表示；
（2）利用等比中项公式、等差中项公式可得关于a₁，d的方程组，解出即可；
（3）直接由等差数列的通项公式可求；

解答： 解：（1）

1

3

S₃=

1

3

（3a1+

3×2

2

d）=a₁+d，

1

4

S₄=

1

4

（4a1+

4×3

2

d）=a1+

3

2

d，

1

5

S₅=

1

5

(5a1+

5×4

2

d)=a₁+2d．
（2）∵

1

3

S₃，

1

4

S₄的等比中项为

1

5

S₅，
∴(

1

5

S5)2=

1

3

S₃•

1

4

S₄，即(a1+2d)2=（a₁+d）（a1+

3

2

d），化简得3a₁+5d=0①，
∵

1

3

S₃，

1

4

S₄的等差中项为1，
∴

1

3

S₃+

1

4

S₄=2，即（a₁+d）+（a1+

3

2

d）=2．化简得2a1+

5

2

d=2②，
联立①②解得a₁=4，d=-

12

5

；
（3）由等差数列的通项公式可得a_n=a₁+（n-1）d=4+（n-1）（-

12

5

）=-

12

5

n+

32

5

．

点评：该题考查等差数列的通项公式、前n项和公式，属基础题，熟记相关公式是解题关键．