Question

已知函数f(x)=x³+ax²+bx+c图像上一点M(1,m)处的切线方程为y-2=0，其中a、b、c为常数.

（1）函数f(x)是否存在单调递减区间？若存在，则求出单调递减区间（用a表示）.

（2）若x=1不是函数f(x)的极值点，求证：函数f(x)的图像关于点M对称.

Answer 1

（1）解:f(x)=x³+ax²+bx+c，f′(x)=3x²+2ax+b，

由题意，知m=2，f(1)=1+a+b+c=2,f′(1)=3+2a+b=0，

即b=-2a-3,c=a+4.

f′(x)=3x²+2ax-(2a+3)=3(x-1)(x+1+).

①当a=-3时，f′(x)=3(x-1)²≥0，函数f(x)在区间(-∞,+∞)上单调增加，

不存在单调减区间；

②当a＞-3时，-1＜1，有

x	(-∞,-1)	(-1,1)	(1,+∞)
f′(x)	+	-	+
f(x)	↑	↓	↑

∴当a＞-3时，函数f(x)存在单调减区间,为［-1,1］;

③当a＜-3时,-1＞1,有

x	(-∞,1)	(1,-1)	(-1,+∞)
F′(x)	+	-	+
f(x)	↑	↓	↑

∴当a＜-3时,函数f(x)存在单调减区间,为［1,-1］.

（2）证明:由（1）知：若x=1不是函数f(x)的极值点，则a=-3，

b=3,c=1,f(x)=x³-3x²+3x+1=(x-1)³+2.

设点P(x₀,y₀)是函数f(x)的图像上任意一点，则y₀=f(x₀)=(x₀-1)³+2，

点P(x₀,y₀)关于点M(1,2)的对称点为Q(2-x₀,4-y₀).

∵f(2-x₀)=(2-x₀-1)³+2=-(x₀-1)³+2=2-y₀+2=4-y₀,∵f(2-x₀)=(2-x₀)³-3(2-x₀)²+3(2-x₀)+1

（或=8-12x₀+6x₀²-x₀³-12+12x₀-3x₀²+6-3x₀+1）=-x₀³+3x₀²-3x₀+3=4-(x₀³-3x₀²+3x₀+1)=4-y₀,

∴点Q(2-x₀,4-y₀)在函数f(x)的图像上.由点P的任意性知函数f(x)的图像关于点M对称.