Question

17．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=2，S_n=2a_n+k，等差数列{b_n}的前n项和为T_n，且T_n=n²．
（1）求k和S_n；
（2）若c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和M_n．

Answer 1

分析 （1）令n=1，得a₁=-k=2，即k=-2，再由a_n=S_n-S_n-1即可数列{a_n}的通项公式，再根据等比数列的求和公式求和即可，
（2）由b_n=T_n-T_n-1，求出}，{b_n}的通项公式，根据{C_n}的通项公式可知利用由错位相减法能够求出数列{C_n}的前n项和M_n．

解答 解：（1）令n=1，得a₁=-k=2，即k=-2，
∴S_n=2a_n-2，
当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2，
∴a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以{a_n}=2ⁿ，
∴S_n=2ⁿ⁺¹-2
（2）∵等差数列{b_n}的前n项和为T_n，且T_n=n²．
T_n-1=（n-1）²．
∴b_n=T_n-T_n-1=2n-1，
∴c_n=a_n•b_n=（2n-1）2ⁿ，
∴数列{c_n}的前n项和：
M_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-3）×2^n-1+（2n-1）×2ⁿ，①
2M_n=1×2²+3×2³+5×2⁴…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-M_n=2+2×2²+2×2³+2×2⁴+…+2×2ⁿ-（2n-1）×2ⁿ⁺¹=2+2×$\frac{{2}^{2}-{2}^{n+1}}{1-2}$-（2m-1）×2ⁿ⁺¹
即M_n=6+（2n-3）×2ⁿ⁺¹．

点评 本题主要考查了数列的通项公式的求法和数列前n项和的求法，综合性强，难度大，易出错，属于中档题．