Question

9．如图，点A，F分别是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的上顶点和右焦点，过中心O作直线AF的平行线交椭圆于C，D两点，若CD的长是焦距的$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$倍，则该椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 设出AB，CD的方程，联立CD方程与椭圆方程联立，解得x值，即可求得|CD|，利用|CD|=$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$×2c，即可求得a与c的关系，即可求得椭圆的离心率．

解答 解：由题意，设AB的方程为y=-$\frac{b}{c}x$+b：CD的方程为y=-$\frac{b}{c}x$，
CD的方程与椭圆方程联立可得（a²+c²）x²=a²c²，
∴x=±$\frac{ac}{\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}$，
∴|CD|=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}}$×$\frac{2ac}{\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}$=$\frac{2{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}$，
∵CD的长是焦距的$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$倍，
∴|CD|=$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$×2c，即$\frac{2{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}c$，
两边平方得：5a⁴-16a²c²-16c⁴=0，
∴（a²-4c²）（5a²+4c²）=0，
∴a²=4c²，
椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查椭圆的离心率，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是求出|CD|，属于中档题．