Question

4．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}{a}_{n}+n，n是奇数}\\{{a}_{n}-3n，n是偶数}\end{array}\right.$，设b_n=a_2n-$\frac{3}{2}$，S_n为数列{b_n}的前n项和．
（1）求a₂，a₃，b₁，b₂；
（2）证明数列{b_n}是等比数列；
（3）求S_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系即可得出．
（2）由条件$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{{a}_{2n+2}-\frac{3}{2}}{{a}_{2n-\frac{3}{2}}}$=$\frac{\frac{1}{3}{a}_{2n+1}+2n+1-\frac{3}{2}}{{a}_{2n}-\frac{3}{2}}$=$\frac{\frac{1}{3}（{a}_{2n}-6n）+2n-\frac{1}{2}}{{a}_{2n}-\frac{3}{2}}$=$\frac{1}{3}$．即可证明．
（3）利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．

解答 （1）解：由递推关系：a₂=$\frac{1}{3}{a}_{1}$+1=$\frac{4}{3}$，a₃=a₂-3×2=$-\frac{14}{3}$；
b₁=${a}_{2}-\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{6}$，
b₂=${a}_{4}-\frac{3}{2}$=$\frac{1}{3}{a}_{3}+3$-$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{18}$．．
（2）证明：由条件$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{{a}_{2n+2}-\frac{3}{2}}{{a}_{2n-\frac{3}{2}}}$=$\frac{\frac{1}{3}{a}_{2n+1}+2n+1-\frac{3}{2}}{{a}_{2n}-\frac{3}{2}}$=$\frac{\frac{1}{3}（{a}_{2n}-6n）+2n-\frac{1}{2}}{{a}_{2n}-\frac{3}{2}}$=$\frac{1}{3}$．
∴数列{b_n}是首项为$-\frac{1}{6}$，公比为$\frac{1}{3}$的等比数列．
（3）由（2）知：${b}_{n}=-\frac{1}{6}×（\frac{1}{3}）^{n-1}$=-$\frac{1}{2}×（\frac{1}{3}）^{n}$．
∴S_n=$\frac{-\frac{1}{6}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{4×{3}^{n}}$-$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．