Question

14．已知正项等比数列{a_n}{n∈N^*}，首项a₁=3，前n项和为S_n，且S₃+a₃、S₅+a₅、S₄+a₄成等差数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{na_n}的前n项和为T_n，若对任意正整数n，都有T_n∈[a，b]，求b-a的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等差数列和等比数列的通项公式、前n项和的意义即可得出；
（Ⅱ）利用等差数列和等比数列的前n项和公式、“错位相减法”即可得出，再根据数列的函数特征，即可求出b-a的最小值．

解答 解：（1）设正项等比数列{a_n}（n∈N^*），又a₁=3，∴a_n=3q^n-1，
∵S₃+a₃、S₅+a₅、S₄+a₄成等差数列，
∴2（S₅+a₅）=（S₃+a₃）+（S₄+a₄），
即2（a₁+a₂+a₃+a₄+2a₅）=（a₁+a₂+2a₃）+（a₁+a₂+a₃+2a₄），
化简得4a₅=a₃，
∴4a₁q⁴=a₁q¹，化为4q²=1，
解得q=$±\frac{1}{2}$，
∵a_n＞0，
∴q=$\frac{1}{2}$，
∴a_n=3×（$\frac{1}{2}$）^n-1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，na_n=3n×（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∴T_n=3×1+3×2×（$\frac{1}{2}$）+3×3×（$\frac{1}{2}$）²+…+3n×（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∴$\frac{1}{2}$T_n=3×$\frac{1}{2}$+3×2×（$\frac{1}{2}$）²+3×3×（$\frac{1}{2}$）³+…+3（n-1）×（$\frac{1}{2}$）^n-1+3n×（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
两式相减得到$\frac{1}{2}$T_n=3×1+3×$\frac{1}{2}$+3×（$\frac{1}{2}$）²+3×（$\frac{1}{2}$）³+…+3×（$\frac{1}{2}$）^n-1-3n×（$\frac{1}{2}$）ⁿ=3×$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{2}}$-3n×（$\frac{1}{2}$）ⁿ=6-（6+3n）×（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴T_n=12-（6+3n）×（$\frac{1}{2}$）^n-1，
又na_n=3n×（$\frac{1}{2}$）^n-1＞0，
∴{T_n}单调递增，
∴{T_n}_min=T₁=3，
∴3≤T_n＜12，
∵对任意正整数n，都有T_n∈[a，b]，
∴a≤3，b≥12，
∴a的最大值为3，b的最大值为12，
故b-a的最小值=12-3=9

点评 本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及前n项和公式及其性质、“错位相减法求和”、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．