Question

4．已知函数f（x）=-x³+x²-ax+1是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为（　　）

• A． [-3，+∞）
• B． （-∞，-$\frac{1}{3}$]
• C． [$\frac{1}{3}$，+∞）
• D． （-∞，$\frac{1}{3}$]

Answer 1

分析 求出f′（x），由题意f′（x）≤0在R上恒成立，利用二次函数的性质求出a的取值范围即可得到满足题意的a范围．

解答 解：f（x）=-x³+x²-ax+1，
∴f′（x）=-3x²+2x-a，由题意f′（x）≤0在R上恒成立，
∴△≤0，即4-4×3a≤0，
解得：a≥$\frac{1}{3}$，
∴实数a的取值范围为[$\frac{1}{3}$，+∞），
故答案选：C．

点评 本题主要考查函数的导数与单调区间的关系，以及恒成立问题的解法，属于导数的应用，属于中档题．