Question

14．设函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$+（1-k）x-klnx．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若k为正数，且存在x₀使得f（x₀）＜$\frac{3}{2}$-k²，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的定义域，求导，讨论k的取值，分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0 即可得出，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得函数的最小值，f（x₀）＜$\frac{3}{2}$-k²，将其转化成$\frac{k}{2}$+1-lnk-$\frac{3}{2k}$＜0，构造辅助函数，判断其单调性，即可求得k的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=x+1-k-$\frac{k}{x}$=$\frac{x2+（1-k）x-k}{x}$=$\frac{（x+1）（x-k）}{x}$，
（ⅰ）k≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（ⅱ）k＞0时，x∈（0，k），f′（x）＜0；x∈（k，+∞），f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，k）上单调递减，f（x）在（k，+∞）上单调递增．…（5分）
（Ⅱ）因k＞0，由（Ⅰ）知f（x）+k²-$\frac{3}{2}$的最小值为f（k）+k²-$\frac{3}{2}$=$\frac{k2}{2}$+k-klnk-$\frac{3}{2}$，
由题意得$\frac{k2}{2}$+k-klnk-$\frac{3}{2}$＜0，即$\frac{k}{2}$+1-lnk-$\frac{3}{2k}$＜0．…（8分）
令g（k）=$\frac{k}{2}$+1-lnk-$\frac{3}{2k}$，则g′（k）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{k}$+$\frac{3}{2k2}$=$\frac{k2-2k+3}{2k2}$＞0，
∴g（k）在（0，+∞）上单调递增，又g（1）=0，
∴k∈（0，1）时，g（k）＜0，于是$\frac{k2}{2}$+k-klnk-$\frac{3}{2}$＜0；
k∈（1，+∞）时，g（k）＞0，于是$\frac{k2}{2}$+k-klnk-$\frac{3}{2}$＞0．
故k的取值范围为0＜k＜1．…（12分）

点评 本题主要考查利用导数求函数的单调性研及函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．