Question

19．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{2π}{3}$，且|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=4，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|=2，则|$\overrightarrow{c}$|的最小值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 4
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据平面向量加减运算的几何意义作图，得出$\overrightarrow{c}$的终点的轨迹，利用平面几何的性质得出|$\overrightarrow{c}$|的最小值．

解答 解：设$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，
∵|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=4，∠AOB=$\frac{2π}{3}$，则四边形OADB是菱形．OD=4．
设$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，则$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$．
∵|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|=2，∴C在以D为圆心，以2为半径的圆D上．
∴当C在线段OD上时，OC最小，即|$\overrightarrow{c}$|最小．
∴|$\overrightarrow{c}$|的最小值为OD-OC=4-2=2．
故选：B．

点评 本题考查了平面向量线性运算的几何意义，作出几何图形得出$\overrightarrow{c}$的终点的轨迹是关键．