Question

13．已知函数f（x）=x-ax²-ln（x+1），其中a∈R．
（1）若x=2是f（x）的极值点，求a的值；
（2）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到f′（2）=0，解出即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调性，判断是否满足f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，从而求出a的范围．

解答 解：（1）f（x）=x-ax²-ln（x+1），（x＞-1），
f′（x）=1-2ax-$\frac{1}{x+1}$=$\frac{-2{ax}^{2}+（1-2a）x}{x+1}$，
∵x=2是f（x）的极值点，
∴f′（2）=0，解得：a=$\frac{1}{6}$；
（2）f′（x）=1-2ax-$\frac{1}{x+1}$=$\frac{-2{ax}^{2}+（1-2a）x}{x+1}$，（x≥0），
令g（x）=-2ax+（1-2a），
a≥$\frac{1}{2}$时，令g（x）=0，x=$\frac{1-2a}{2a}$＜0，g（x）＜0在[0，+∞）恒成立，
∴f（x）在[0，+∞）递减，f（x）_最大值=f（0）=0，成立，
0＜a＜$\frac{1}{2}$时，x=$\frac{1-2a}{2a}$＞0，
令g（x）＞0，解得：x＜$\frac{1-2a}{2a}$，令g（x）＜0，解得：x＞$\frac{1-2a}{2a}$，
∴f（x）在[0，$\frac{1-2a}{2a}$）递增，在（$\frac{1-2a}{2a}$，+∞）递减，
∴f（x）_最大值=f（$\frac{1-2a}{2a}$）=0，
∴$\frac{1-2a}{2a}$-a（$\frac{1-2a}{2a}$）²-ln（$\frac{1-2a}{2a}$+1）=0，
整理得：ln2a=a-$\frac{1}{4a}$，
令t=2a，则lnt=$\frac{1}{2}$t-$\frac{1}{2t}$，（0＜t＜1），
令h（t）=lnt-$\frac{1}{2}$t+$\frac{1}{2t}$，h′（t）=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{{t}^{2}}$）＞0，
∴h（t）在（0，1）递增，而h（1）=0，
∴h（t）＞h（1）=0，
∴ln2a＞a-$\frac{1}{4a}$在（0，$\frac{1}{2}$）恒成立，
故0＜a＜$\frac{1}{2}$时，不满足f（x）的最大值是0，不合题意；
a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在[0，+∞）递增，不合题意；
综上：a≥$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．