Question

1．已知函数f（x）=ax²+3x+2，g（x）=lnx
（Ⅰ）设h（x）=f（x）-g（x），求h（x）有两个极值点的充要条件；
（Ⅱ）求证：当a≥0时，不等式f（x）≥g（x）恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出h（x）的导数，得到关于a的不等式组，求出a的范围即可；
（Ⅱ）问题转化为h（x）=ax²+3x+2-lnx≥0在（0，+∞）上恒成立，分离参数得到$a≥\frac{lnx-（3x+2）}{x^2}$在（0，+∞）上恒成立，根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（Ⅰ）因为函数f（x）=ax²+3x+2，g（x）=lnx，
∴h（x）=ax²+3x+2-lnx，
∴${h^'}（x）=2ax+3-\frac{1}{x}=\frac{{2a{x^2}+3x-1}}{x}（x＞0）$，
∴h（x）有两个极值点的充要条件是：
方程2ax²+3x-1=0有两个不等的正根，
即$\left\{\begin{array}{l}△=9+8a＞0\\{x_1}+{x_2}=-\frac{3}{2a}＞0\\{x_1}{x_2}=-\frac{1}{2a}＞0\end{array}\right.⇒-\frac{9}{8}＜a＜0$，
∴h（x）有两个极值点的充要条件是$-\frac{9}{8}＜a＜0$；
（Ⅱ）a≥0时，不等式f（x）≥g（x）恒成立?
h（x）=ax²+3x+2-lnx≥0在（0，+∞）上恒成立，
即$a≥\frac{lnx-（3x+2）}{x^2}$在（0，+∞）上恒成立，
令$u（x）=lnx-3x-2，{u^'}（x）=\frac{1}{x}-3=\frac{1-3x}{x}（x＞0）$，
当$x∈（0，\frac{1}{3}）$时u′（x）＞0，当$x∈（\frac{1}{3}，+∞）$时u′（x）＜0，
∴$x=\frac{1}{3}时，u（x{）_{max}}=-ln3-3＜0$，
故x∈（0，+∞），恒有$\frac{lnx-（3x+2）}{x^2}＜0$，
所以当a≥0时，$a≥\frac{lnx-（3x+2）}{x^2}$在（0，+∞）上恒成立，
即不等式f（x）≥g（x）恒成立．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．