Question

10．（理科）设函数f（x）=x（e^x-1）-ax²（e=2.71828…是自然对数的底数）．
（Ⅰ）若a=$\frac{1}{2}$，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）在（-1，0）无极值，求a的取值范围；
（Ⅲ）设n∈N^*，x＞0，求证：e^x＞1+$\frac{x}{1!}$+$\frac{{x}^{2}}{2!}$+…+$\frac{{x}^{n}}{n!}$．注：n！=n×（n-1）×…×2×1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a=$\frac{1}{2}$时，化简f（x）=x（e^x-1）-$\frac{1}{2}$x²，从而求导确定函数的单调性；
（Ⅱ）求出f（x）的导数，得到g（x）=e^x+$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，h（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，根据函数的单调性判断出g（x）=e^x+h（x）＜1，得到2a≤1；且g（x）=e^x+h（x）＞2，从而求出a的值即可；
（Ⅲ）利用数列归纳法证明，假设当n=k时不等式成立，即e^x＞1+$\frac{x}{1!}$+$\frac{{x}^{2}}{2!}$+…+$\frac{{x}^{k}}{k!}$，从而令m（x）=e^x-（1+$\frac{x}{1!}$+$\frac{{x}^{2}}{2!}$+…+…+$\frac{{x}^{k}}{k!}$+$\frac{{x}^{k+1}}{（k+1）!}$），显然m（0）=0，m′（x）=e^x-（1+$\frac{x}{1!}$+$\frac{{x}^{2}}{2!}$+…+$\frac{{x}^{k}}{k!}$）＞0，从而证明．

解答 解：（1）a=$\frac{1}{2}$时，f（x）=x（e^x-1）-$\frac{1}{2}$x²，
f′（x）=（e^x-1）+xe^x-x=（e^x-1）（x+1），
则当x∈（-∞，-1）时，f′（x）＞0，
当x∈（-1，0）时，f′（x）＜0，
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，
故f（x）在（-∞，-1），（0，+∞）上单调递增，在（-1，0）上单调递减；
（Ⅱ）若f（x）在（-1，0）无极值，则f（x）在（-1，0）单调，
又f′（x）=（x+1）e^x-2ax-1，
①若f（x）在（-1，0）单调递减，则f′（x）≤0在（-1，0）恒成立，
于是2a≤$\frac{（x+1{）e}^{x}-1}{x}$=e^x+$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，
令g（x）=e^x+$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，h（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，
下面证明h（x）在（-∞，0）上单调递增，
∵h′（x）=$\frac{（x-1{）e}^{x}+1}{{x}^{2}}$，令r（x）=（x-1）e^x+1，则r′（x）=xe^x，
x＜0时，r′（x）＜0，r（x）递减，r（x）＞r（0）=0，
h′（x）＞0，h（x）在（-∞，0）递增；
当x∈（-1，0）时，由g（x）=e^x+h（x）是增函数，从而g（x）＞g（-1）=1，
于是2a≤g（x），得2a≤1，a≤$\frac{1}{2}$；
②若f（x）在（-1，0）单调递增，则f′（x）≥0在（-1，0）恒成立，
于是2a≥g（x），当x∈（-1，0）时，由e^x＞1+x，得h（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$＜1，
g（x）=e^x+h（x）＜2，从而2a≥2，a≥1；
综上，a∈（-∞，$\frac{1}{2}$]∪[1，+∞）时，f（x）在（-1，0）内无极值；
（Ⅲ）用数学归纳法证明：
①当n=1时，令h（x）=e^x-x-1，
h′（x）=e^x-1＞0，h（0）=0；
故h（x）＞h（0）=0，
故e^x＞x+1；
②假设当n=k时不等式成立，即e^x＞1+$\frac{x}{1!}$+$\frac{{x}^{2}}{2!}$+…+$\frac{{x}^{k}}{k!}$，
当n=k+1时，令m（x）=e^x-（1+$\frac{x}{1!}$+$\frac{{x}^{2}}{2!}$+…+…+$\frac{{x}^{k}}{k!}$+$\frac{{x}^{k+1}}{（k+1）!}$），
显然m（0）=0，m′（x）=e^x-（1+$\frac{x}{1!}$+$\frac{{x}^{2}}{2!}$+…+$\frac{{x}^{k}}{k!}$）＞0，
故m（x）＞m（0）=0，
即e^x＞1+$\frac{x}{1!}$+$\frac{{x}^{2}}{2!}$+…+$\frac{{x}^{k}}{k!}$+$\frac{{x}^{k+1}}{（k+1）!}$成立，
综上所述，e^x＞1+$\frac{x}{1!}$+$\frac{{x}^{2}}{2!}$+…+$\frac{{x}^{n}}{n!}$．

点评 本题考查了导数的综合应用及数学归纳法的应用，同时考查了分类讨论的思想，属于难题．