Question

6．设函数f（x）=lnx+x²+ax，x=1是函数f（x）的极值点．
（1）求实数a的值，并求函数f（x）的单调递减区间；
（2）设函数g（x）=f（x）-x²+3x，求证：当x≥2时，g（x）＜$\frac{1}{4}$（x²-1）；
（3）在（2）的条件下，求证：对n∈N^*，$\sum_{k=2}^{n+1}$$\frac{1}{g（k）}$＞$\frac{3{n}^{2}+5n}{（n+1）（n+2）}$．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，得到f′（1）=0，解得a，从而求出f（x）的单调区间即可；
（2）求出g（x），构造函数h（x），通过求导得到h（x）的单调性，求出h（x）的最大值，从而证出结论；
（3）先求出$\frac{1}{lnx}$＞2（$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x+1}$），求和即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1}{x}$+2x+a，…（1分）
f′（1）=1+2+a=0，解得：a=-3，
∴f（x）=lnx+x²-3x        …（3分）
由f′（x）=$\frac{{2x}^{2}-3x+1}{x}$≤0，且x＞0得：原函数减区间为[$\frac{1}{2}$，1]；…（5分）
（2）g（x）=lnx+x²-3x-x²+3x=lnx，构造函数h（x）=4lnx-x²+1 …（6分）
当x≥2时，h′（x）=-$\frac{{2（x}^{2}-2）}{x}$＜0 …（7分）
所以函数h（x）=4lnx-x²+1在区间[2，+∞）单调递减，…（8分）
故h（x）_max=4ln2-3=ln16-lne³＜0，不等式成立；…（9分）
（3）由（2）知：当x≥2时，lnx＜$\frac{1}{4}$（x²-1），…（10分）
所以$\frac{1}{lnx}$＞$\frac{4}{{x}^{2}-1}$=2（$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x+1}$），
即当k≥2时，$\frac{1}{g（k）}$＞2（$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x+1}$），…（12分）
当n≥2时：$\sum_{k=2}^{n+1}{\frac{1}{g（k）}}=\frac{1}{ln2}+\frac{1}{ln3}+…+\frac{1}{{ln（{n+1}）}}＞2（{1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}}）=\frac{{3{n^2}+5n}}{{（{n+1}）（{n+2}）}}$，
又当n=1时上式也能成立，
原命题得证．…（14分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题．