Question

11．已知f（x）=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{3}$ex³，g（x）=f（x）+e^x（x-1）
（1）求函数f（x）极值；
（2）$h（x）=\frac{g'（x）}{x}$，求h（x）最小值
（3）求g（x）单调区间，
（4）求证：x＞0时，不等式g′（x）≥1+lnx．

Answer 1

分析 （1）求出导数，令它大于0，得增区间，令小于0，得减区间，判断极小值和极大值；
（2）求出h（x）的表达式，得到h（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（3）写出g（x）的表达式，求导数，得到g′（x）=x（e^x+1-ex），令y=e^x+1-ex，应用导数证明y＞0恒成立，再解不等式g′（x）＞0，g′（x）＜0求出单调区间；
（4）当x＞0时，令h（x）=1+lnx+ex²-x-e^xx，求出导数h′（x），当x=1时，h′（x）=0，由（Ⅱ）得，e^x-ex≥0，讨论当x＞1时，当0＜x＜1时，导数的符号，从而得到h（x）的最大值，即可得证．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{3}$ex³，
f′（x）=x-ex²=x（1-ex），
f′（x）＞0得0＜x＜$\frac{1}{e}$；f′（x）＜0得x＞$\frac{1}{e}$或x＜0．
则f（x）在x=0处取极小值，且为f（0）=0，
f（x）在x=$\frac{1}{e}$处取极大值，且为f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{{6e}^{2}}$．
（2）f（x）=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{3}$ex³，
∴g（x）=f（x）+e^x（x-1）=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{3}$ex³+e^x（x-1），
g′（x）=x-ex²+e^x（x-1）+e^x，
则g′（x）=x（e^x+1-ex），
∴$h（x）=\frac{g'（x）}{x}$=（e^x+1-ex），
h′（x）=ex-e，令h′（x）＞0，解得：x＞1，令h′（x）＜0，解得：x＜1，
∴h（x）在（-∞，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴h（x）_最小值=h（1）=1；
（3）由（2）得：
g（x）=f（x）+e^x（x-1）=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{3}$ex³+e^x（x-1），
g′（x）=x-ex²+e^x（x-1）+e^x，
则g′（x）=x（e^x+1-ex），令y=e^x+1-ex，则y′=ex-e，y′＞0，得x＞1，
y′＜0，得x＜1，则x=1取极小，也是最小，
则y≥1．即e^x+1-ex＞0恒成立，
则g′（x）＞0得x＞0；g′（x）＜0得x＜0．
故g（x）的增区间为（0，+∞），减区间为（-∞，0）．
（4）证明：当x＞0时，1+lnx-g′（x）=1+lnx+ex²-x-e^xx，
令h（x）=1+lnx+ex²-x-e^xx，
h′（x）=$\frac{1}{x}$+2ex-1-e^xx-e^x，
当x=1时，h′（x）=0，由（Ⅱ）得，e^x-ex≥0，
当x＞1时，h′（x）＜0，当0＜x＜1时，h′（x）＞0，
故x=1为极大值，也为最大值，且为h（1）=0．
故当x＞0时，h（x）≤h（1），即有h（x）≤0，
故当x＞0时，1+lnx-g′（x）≤0，即g′（x）≥1+lnx．

点评 本题考查导数的应用：求单调区间、求极值，求最值，考查构造函数证明不等式恒成立问题，转化为求函数的最值问题，应用导数求解，本题属于中档题．