Question

16．已知函数$f（x）=\frac{x+1}{e^x}$，g（x）=xf（x）+（1-tx）e^-x，t∈R
（1）求函数f（x）的极大值；
（2）若存在a，b，c∈[0，1]满足g（a）+g（b）＜g（c），求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值；
（2）求出g（x）的导数，通过讨论t的范围，确定函数的单调区间，从而求出t的具体范围．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{-x}{e^x}$，
当x≥0时，f′（x）≤0，
所以f（x）在区间[0，+∞）上为减函数，
当x＜0时，f′（x）＞0，
所以f（x）在区间（-∞，0]上为增函数，
所以f（x）_极大值=f（0）=1…（5分）
（2）因为$g（x）=\frac{{{x^2}+（1-t）x+1}}{e^x}$，
所以$g'（x）=\frac{-（x-t）（x-1）}{e^x}$…（6分）
设g（x）在[0，1]上的最大值为M，最小值为N，则2N＜M，
①当t≥1时，g′（x）≤0，g（x）在[0，1]上单调递减，
由2N＜M，所以2g（1）＜g（0），即$2•\frac{3-t}{e}＜1$，得$t＞3-\frac{e}{2}$…（8分）
②当t≤0时，g′（x）≥0，g（x）在[0，1]上单调递增，
所以2g（0）＜g（1）即$2＜\frac{3-t}{e}$，得t＜3-2e…（10分）
③当0＜t＜1时，在x∈[0，t），g'（x）＜0，g（x）在[0，t]上单调递减，
在x∈（t，1]，g'（x）＞0，g（x）在[t，1]上单调递增，
所以2g（t）＜g（0），且2g（t）＜g（1）}，
即$2•\frac{t+1}{e^t}＜1$，且$2•\frac{t+1}{e^t}＜\frac{3-t}{e}$，
由（Ⅰ）知$f（t）=\frac{t+1}{e^t}$在t∈（0，1）上单调递减，
故$2×\frac{t+1}{e^t}＞\frac{4}{e}＞1$，而$\frac{3-t}{e}＜\frac{3}{e}＜\frac{4}{e}$，所以无解，
综上所述，$t∈（-∞，3-2e）∪（3-\frac{e}{2}，+∞）$．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想，是一道综合题．