Question

6．已知四棱锥P-ABCD，它的底面是边长为2的正方形，其俯视图如图所示，侧视图为直角三角形，则该四棱锥的侧面中直角三角形的个数有3个，该四棱锥的体积为$\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 由俯视图判断出PO⊥平面ABCD，由线面垂直的定义、判定定理判断出侧面中直角三角形的个数，由条件求出四棱锥的高，代入椎体的体积公式求出该四棱锥的体积．

解答 解：由俯视图可得，PO⊥平面ABCD，
∴PO⊥AB，
∵AB⊥BC，且PO∩BC=O，
∴AB⊥PB，
同理可证，CD⊥PC，则△PAB、△PDC是直角三角形，
∵侧视图为直角三角形，
∴△PBC是直角三角形，且PC⊥PB，
∴四棱锥的侧面中直角三角形的个数是3，
在△PBC中，
∵PC⊥PB，PO⊥BC，O是BC的中点，BC=2，
∴PO=$\frac{1}{2}$BC=1，
∴该四棱锥的体积V=$\frac{1}{3}×2×2×1$=$\frac{4}{3}$，
故答案为：3；$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查几何体的三视图，线面垂直的定义、判定定理，属于基础题．