Question

15．已知$\overrightarrow{e_1}$，$\overrightarrow{e_2}$不共线，$\overrightarrow a$=$\overrightarrow{e_1}$+2$\overrightarrow{e_2}$，$\overrightarrow b$=2$\overrightarrow{e_1}$+λ$\overrightarrow{e_2}$，要使$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$作为平面内所有向量的一组基底，则实数λ的取值范围是（-∞，4）∪（4，+∞）．

Answer 1

分析 根据题意，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不共线，求出$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$共线时λ的值，即可得出所求λ的取值范围．

解答 解：根据题意，要使$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$作为平面内所有向量的一组基底，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不共线，
当$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$共线时，必存在实数m使$\overrightarrow{b}$=m$\overrightarrow{a}$，m∈R；
即2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+λ$\overrightarrow{{e}_{2}}$=m（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$），
故可得$\left\{\begin{array}{l}{2=m}\\{λ=2m}\end{array}\right.$，解得m=2，λ=4；
故要使两向量作基底，必有λ≠4．
故答案为：（-∞，4）∪（4，+∞）．

点评 本题考查了平面向量共线定理的应用问题，是基础题目．