Question

10．下列说法中，正确的有（　　）
①用反证法证明命题“a，b∈R，方程x³+ax+b=0至少有一个实根”时，要作的假设是“方程至多有两个实根”；
②用数学归纳法证明“1+2+2²+…+2ⁿ⁺²=2ⁿ⁺³-1，在验证n=1时，左边的式子是1+2+2²；
③用数学归纳法证明$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$＞$\frac{13}{24}$（n∈N^*）的过程中，由n=k推导到n=k+1时，左边增加的项为$\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{2n+2}$，没有减少的项；
④演绎推理的结论一定正确；
⑤要证明“$\sqrt{7}$-$\sqrt{3}$＞$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$”的最合理的方法是分析法．

• A． ①④
• B． ④
• C． ②③⑤
• D． ⑤

Answer 1

分析 对5个命题分别进行判断，即可得出结论．

解答 解：①用反证法证明命题“a，b∈R，方程x³+ax+b=0至少有一个实根”时，要作的假设是“方程x³+ax+b=0没有实根”，故不正确；
②用数学归纳法证明“1+2+2²+…+2ⁿ⁺²=2ⁿ⁺³-1，在验证n=1时，左边的式子是1+2+2²+2³，故不正确；
③用数学归纳法证明$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$＞$\frac{13}{24}$（n∈N^*）的过程中，由n=k推导到n=k+1时，左边增加的项为$\frac{1}{2k+1}$+$\frac{1}{2k+2}$-$\frac{1}{2k}$，故不正确；
④演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定是正确的，故不正确；
⑤因为$\sqrt{7}$-$\sqrt{3}$＞$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，是含有无理式的不等式，如果利用反证法，其形式与原不等式相同，所以反证法不合适；综合法不容易找出证明的突破口，所以最合理的证明方法是分析法，故正确．
故选：D．

点评 本题考查命题的真假判断，考查反证法、数学归纳法、分析法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．