Question

19．已知cosα=$\frac{1}{7}$，cos（α-β）=$\frac{13}{14}$，且0＜β＜α＜$\frac{π}{2}$，
（1）求tanα+tan2α的值；    
（2）求β．

Answer 1

分析 （1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，tanα的值，利用二倍角的正切函数公式可求tan2α的值，即可计算得解．
（2）由0＜β＜α＜$\frac{π}{2}$，得0＜α-β＜$\frac{π}{2}$，利用同角三角函数基本关系式可求sin（α-β）的值，由β=α-（α-β）利用两角差的余弦函数公式即可计算求值得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由cosα=$\frac{1}{7}$，0＜α＜$\frac{π}{2}$，得sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\sqrt{1-（\frac{1}{7}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
∴tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}×\frac{7}{1}$=4$\sqrt{3}$，于是tan2α=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=$\frac{2×4\sqrt{3}}{1-（4\sqrt{3}）^{2}}$=-$\frac{8\sqrt{3}}{47}$，
tanα+tan2α=-$\frac{180\sqrt{3}}{47}$．…（6分）
（2）由0＜β＜α＜$\frac{π}{2}$，得0＜α-β＜$\frac{π}{2}$，
又∵cos（α-β）=$\frac{13}{14}$，
∴sin（α-β）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α-β）}$=$\sqrt{1-（\frac{13}{14}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{14}$，
由β=α-（α-β）得：cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）=$\frac{1}{7}×\frac{13}{14}$+$\frac{4\sqrt{3}}{7}×\frac{3\sqrt{3}}{14}$=$\frac{1}{2}$，
所以$β=\frac{π}{3}$．…（12分）

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正切函数公式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．