Question

11．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（　　）

• A． 24π
• B． 36π
• C． 48π
• D． 54π

Answer 1

分析 由三视图知该几何体是一个四棱柱，把四棱柱放在长方体中，由三视图求出几何元素的长度，根据勾股定理和正弦定理求出外接球的半径，由球的表面积公式求出答案．

解答 解：根据三视图可知几何体是一个四棱柱，把四棱柱放在长方体中，如图：
长方体的高是2、底面是以3为边长的正方形，
设0是四棱柱外接球的球心，O′是上底ABCD的外接圆的圆心，则OO′=1，
由三视图得AB=DC=2，则BC=$\sqrt{2}$、AD=3$\sqrt{2}$，
∴上底ABCD是等腰梯形，如图：BE⊥AD，
∴AE=BE=$\sqrt{2}$，则A=$\frac{π}{4}$，
在△BDE中，BD=$\sqrt{B{E}^{2}+D{E}^{2}}$
=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
在△ABD中，由正弦定理得，
2AO′=$\frac{BD}{sinA}$=$\frac{\sqrt{10}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=2$\sqrt{5}$，则AO′=$\sqrt{5}$，
∵△ABD与四边形ABCD外接于同一个圆，
∴在△AOO′中，AO²=OO′²+AO′²=6，
∴该几何体的外接球的表面积S=4π•AO²=24π，
故选：A．

点评 本题考查三视图求几何体外接球的表面积，由三视图正确复原几何体、以及确定球心的位置是解题的关键，考查空间想象能力和转化能力．