Question

2．P是曲线x²-y-lnx=0上的任意一点，则点P到直线y=x-3的最小距离为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由题意知，当曲线上过点P的切线和直线x-y-3=0平行时，点P到直线x-y-3=0的距离最小，求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得切点的坐标，此切点到直线x-y-3=0的距离即为所求．

解答 解：点P是曲线f（x）=x²-lnx上任意一点，
当过点P的切线和直线x-y-3=0平行时，
点P到直线x-y-3=0的距离最小．
直线x-y-3=0的斜率等于1，
由f（x）=x²-lnx，得f′（x）=2x-$\frac{1}{x}$=1，
解得：x=1，或 x=-$\frac{1}{2}$（舍去），
故曲线f（x）=x²-lnx上和直线x-y-3=0平行的切线经过的切点坐标（1，1），
点（1，1）到直线x-y-3=0的距离等于$\frac{|1-1-3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
故点P到直线x-y-3=0的最小距离为=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
故选：B．

点评 本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的几何意义，体现了转化的数学思想，是中档题．