Question

7．已知函数f（x）=e^x（x²-2x+2-a²）（a＞0），g（x）=x²+6x+c（c∈R）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=-4x-2，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当a=1时，对?x₁∈[-2，2]，?x₂∈[-2，2]，使f（x₁）＜g（x₂）成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函数的导数，利用函数f（x）在x=0处的切线方程为y=-4x-2，建立方程关系即可求a的值；
（Ⅱ）求函数的导数，令f′（x）=0，求得方程的两个解，f′（x）＞0，求得函数的单调递增区间，f′（x）＜0，求得函数的单调递减区间；
（Ⅲ）当a=1，求得导函数解析式，将原条件转化成f（x）在[-2，2]，上的最大值小于g（x）在[-2，2]上的最大值，利用函数单调性求得f（x）和g（x）的最大值，即可求得c的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=e^x（x²-a²）=e^x（x-a）（x+a），
由于曲线y=f（x）在点（0，f（0）出的切线为y=-4x-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（0）=-{a}^{2}=-4}\\{f（0）=2-{a}^{2}=-2}\\{a＞0}\end{array}\right.$，
解得：a=2，
（Ⅱ）令f′（x）=0，e^x（x-a）（x+a）=0，
解得：x₁=a，x₂=-a，
由f′（x）＞0得：x＜-a或x＞a，由f′（x）＜0，-a＜x＜a，
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，-a），（a，+∞），单调减区间为（-a，a）；
（Ⅲ），对?x₁∈[-2，2]，?x₂∈[-2，2]，使f（x₁）＜g（x₂）成立，
等价于f（x）在[-2，2]，上的最大值小于g（x）在[-2，2]上的最大值，
当a=1时f（x）=e^x（x²-2x+1），由（Ⅱ）可得f（x）与f（x）在[-2，2]，情况下：

x	-2	（-2，1）	-1	（-1，1）	1	（1，2）	2
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	9e-2	增	4e-1	减	0	增	e2

由上表可知：f（x）在[-2，2上的最大值诶f（2）=e²，
∵g′（x）=2x+f6＞0，在[-2，2]上恒成立，
∴g（x）=x²+6x+c在[-2，2]上单调递增，
∴最大值为g（2）=c+16，
f（2）＜g（2），即e²＜c+16，得c＞e²-16，
故实数c的取值范围（e²-16，∞）．

点评 本题考查利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，利用导数研究函数的单调性以及根据函数的增减性得到函数的最值．灵活运用转化的数学思想解决数学问题，属于中档题．