Question

18．已知函数f（x）=e^x-2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）证明：当x＞0时，x²＜e^x．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（Ⅱ）令g（x）=e^x-x²，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（Ⅰ）函数的定义域为R，f′（x）=e^x-2，
令f′（x）=0，得x=ln2，
当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
所以当x=ln2时，f（x）有极小值，
且极小值为f（ln2）=e^ln2-2ln2=2-ln4，f（x）无极大值…（6分）
（Ⅱ）证：令g（x）=e^x-x²，则g′（x）=e^x-2x
由（Ⅰ）得，g'（x）=f（x）≥f（ln2）=2-ln4＞0，即g'（x）＞0
所以g（x）在R上单调递增，又g（0）=1＞0，
所以当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x²＜e^x…12分

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导的应用以及不等式的证明，是一道中档题．