Question

8．有下列命题：
①乘积（a+b+c+d）（p+q+r）（m+n）展开式的项数是24；
②由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是36；
③某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为24；
④已知（1+x）⁸=a₀+a₁x+…+a₈x⁸，其中a₀，a₁，…，a₈中奇数的个数为2．
其中真命题的序号是①②③④．

Answer 1

分析 ①根据分布计数原理进行计算．
②根据排列组合进行计算．
③根据排列组合进行计算．
④根据二项式系数的性质进行判断．

解答 解：①乘积（a+b+c+d）（p+q+r）（m+n）展开式的项数是4×3×2=24；故①正确，
②如果5在两端，则1、2有三个位置可选，排法为2×A₃²A₂²=24种，
如果5不在两端，则1、2只有两个位置可选，首先排5，有${C}_{3}^{1}$=3种，然后排1和2，有A₂²A₂²=12种，
3×A₂²A₂²=12种，共计12+24=36种；故②正确；
③将空位插到三个人中间，三个人有两个中间位置和两个两边位置，就是将空位分为四部分，五个空位四分只有1，1，1，2
空位五差别，只需要空位2分别占在四个位置就可以有四种方法，另外三个人排列A³₃=6，
根据分步计数可得共有4×6=24，故③正确，；
④由（1+x）⁸=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₈x⁸．
可知：a₀，a₁，a₂…a₈均为二项式系数，
依次是c₈⁰，c₈¹，c₈²…c₈⁸．
∵C₈⁰=C₈⁸=1，C₈¹=C₈⁷=8，C₈²=C₈⁶=28；C₈³=C₈⁵=56；C₈⁴=70
∴a₀，a₁，a₂…a₈中奇数只有a₀，a₈两个，故④正确，
故答案为：①②③④．

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及排列组合以及二项式定理的应用，考查学生的运算和推理能力．