Question

16．双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1存在一点P，与坐标原点O、右焦点F₂构成正三角形，则双曲线的离心率为$\sqrt{3}+1$．

Answer 1

分析 根据正三角形的性质得到三角形F₁PF₂为直角三角形，利用双曲线离心率的定义进行求解即可．

解答 解：∵P，与坐标原点O、右焦点F₂构成正三角形，
∴连接PF₁，则三角形F₁PF₂为直角三角形，
则PF₂=c，PF₁=$\sqrt{3}$c，
∵PF₁-PF₂=2a，
∴（$\sqrt{3}$-1）c=2a，
则e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$=$\sqrt{3}+1$，
故答案为：$\sqrt{3}+1$．

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据直角三角形的性质建立方程关系是解决本题的关键．