Question

6．已知函数f（x）=（1-a²）lnx-$\frac{1}{3}$x³．
（1）当a=0时，求f（x）的极值；
（2）设函数g（x）=e^x-$\frac{x}{e}$-2（e为自然对数的底数），k为函数f（x）在x=1处切线的斜率，若g（x）-k＞0在x∈（0，+∞）时恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）求出f（x）的导数，得到k的值，根据函数的单调性求出g（x）＞g（0），从而有-a²≤-1，解出即可．

解答 解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），
∵f′（x）=$\frac{1{-x}^{3}}{x}$（x＞0），
由f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴f（x）_极大值=f（1）=-$\frac{1}{3}$，无极小值；
（2）f′（x）=$\frac{（1{-a}^{2}）{-x}^{3}}{x}$，（x＞0），
由题意得k=f′（1）=-a²，
∵g′（x）=e^x-$\frac{1}{e}$＞0，（x＞0），
∴g（x）在（0，+∞）递增，g（x）＞g（0）=-1，
∴k≤g（0）=-1，即-a²≤-1，
故a≥1或a≤-1．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．