Question

3．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，给出下列结论：
①函数f（x）与x轴一定存在交点；
②当a²-3b＞0时，函数f（x）既有极大值也有极小值；
③若x₀是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（-∞，x₀）单调递减；
④若f′（x₀）=0，则x₀是f（x）的极值点．
其中确结论的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据函数的单调性判断①③，根据导函数的根的情况判断②，特殊值法判断④．

解答 解：函数f（x）=x³+ax²+bx+c，f′（x）=3x²+2ax+b，△=4（a²-3b），
若△≤0，则f（x）单调递增或单调递减，若△＞0，f（x）可能递减、递增、递减，或递增、递减、递增；
①函数f（x）与x轴一定存在交点；①正确；
②当a²-3b＞0时，即△＞0，函数f（x）既有极大值也有极小值；②正确；
③若x₀是f（x）的极小值点，可能f（x）递减、递增、递减，则f（x）在区间（-∞，x₀）不一定单调递减；③错误；
④若f′（x₀）=0，则x₀是f（x）的极值点；④错误，比如a=b=c=0时，f（x）=x³，f（0）=0，却不是极值点；
故选：B．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．