Question

8．已知a为常数，函数f（x）=x（lnx-2ax）有两个极值点x₁，x₂（$x_1^{\;}＜{x_2}$）（　　）

• A． f（x₁）＜0，$f（{x_2}）＞-\frac{1}{2}$
• B． f（x₁）＜0，$f（{x_2}）＜\frac{1}{2}$
• C． f（x₁）＞0，$f（{x_2}）＜-\frac{1}{2}$
• D． f（x₁）＞0，$f（{x_2}）＞\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 先求出f′（x），令f′（x）=0，由题意可得lnx=4ax-1有两个解x₁，x₂?函数g（x）=lnx+1-4ax有且只有两个零点?g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．利用导数与函数极值的关系即可得出．

解答 解：∵f′（x）=lnx+1-4ax，（x＞0）
令f′（x）=0，由题意可得lnx=4ax-1有两个解x₁，x₂
?函数g（x）=lnx+1-4ax有且只有两个零点
?g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．
g′（x）=$\frac{1}{x}$-4a=$\frac{1-4ax}{x}$．
①当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）=f′（x）至多有一个零点，不符合题意，应舍去．
②当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=$\frac{1}{4a}$，
∵x∈（0，$\frac{1}{4a}$），g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；x∈（$\frac{1}{4a}$，+∞）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．
∴x=$\frac{1}{4a}$是函数g（x）的极大值点，则g（$\frac{1}{4a}$）＞0，即ln$\frac{1}{4a}$+1-1=-ln（4a）＞0，
∴ln（4a）＜0，∴0＜4a＜1，即0＜a＜$\frac{1}{4}$．
故当0＜a＜$\frac{1}{4}$时，g（x）=0有两个根x₁，x₂，且x₁＜$\frac{1}{4a}$＜x₂，又g（1）=1-4a＞0，
∴x₁＜1＜$\frac{1}{4a}$＜x₂，从而可知函数f（x）在区间（0，x₁）上递减，在区间（x₁，x₂）上递增，在区间（x₂，+∞）上递减．
∴f（x₁）＜f（1）=-2a＜0，f（x₂）＞f（1）=-2a＞-$\frac{1}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了利用导数研究函数极值的方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．